順列・組み合わせの計算(nPr・nCr)
n個からr個を選ぶときの順列(nPr)・組み合わせ(nCr)・階乗(n!)を計算します。確率や場合の数の問題に。
順列・組み合わせの計算について
n個の中からr個を選ぶ場合の数を計算します。順番を区別する場合は「順列(nPr)」、区別しない場合は「組み合わせ(nCr)」を使います。宝くじの確率、チームの選び方、パスワードの組み合わせ数など、場合の数・確率の問題で使われます。
階乗(n!)もあわせて表示します。計算にはBigIntを使っているので、大きな数でも正確です。たとえば、52枚のトランプから5枚を選ぶ組み合わせは、約260万通りです。
こんなときに使えます
- 確率の問題で、場合の数を求める
- くじ・抽選の当選確率の計算
- チーム分けや選抜の、組み合わせの総数を知る
使うときのポイント
- 順列は、選んだ順番も区別するので、組み合わせより大きくなる(nPr = nCr × r!)
- nCrとnC(n-r)は、同じ値になる
計算例
入力欄の初期値のまま計算すると、次の結果になります。条件は、n(全体の個数)が10、r(選ぶ個数)が3です。数値を変えると、この結果もそれに合わせて変わります。
| 組み合わせ nCr | 120 |
|---|---|
| 順列 nPr | 720 |
| 階乗 n! | 3,628,800 |
使い方
- nとrを入力します。
- 順列・組み合わせ・階乗が表示されます。
計算方法・仕組み
nPr = n × (n-1) × … × (n-r+1)
nCr = nPr ÷ r!
BigIntで計算するため、大きな数でも正確です。
知っておきたい基礎知識
順列(nPr)は、n個のものから、r個を選んで、順番をつけて並べる場合の数です。組み合わせ(nCr)は、順番を考えずに、r個を選ぶ場合の数です。たとえば、5人から3人を選んで、1位・2位・3位を決める場合は、5P3 = 60通り、3人の代表を選ぶだけなら、5C3 = 10通りです。
組み合わせの数は、nCr = nPr ÷ r! で求められます。くじ引きや、ロトの当選確率、トランプの手札の確率、チームの編成など、確率や、場合の数の問題で、よく使われます。たとえば、ロト6(43個から6個を選ぶ)の組み合わせは、43C6 = 6,096,454通りです。
間違えやすいポイント
- 順番を区別するか(順列)、しないか(組み合わせ)を最初に確認する
- 重複を許すかどうか(重複順列・重複組み合わせ)で、公式が変わる
- nがrより小さい場合は、定義されない
よくある質問
- ロト6の1等の当選確率は?
- 43C6 = 6,096,454通りのうち、1通りなので、約609万分の1です。
- 0!は、なぜ1なのですか?
- 0! = 1は、組み合わせの公式などで、矛盾なく計算を進めるための、約束(定義)です。