階乗の計算(n!)
n の階乗(1からnまでの積)を計算します。大きな数も正確に計算し、桁数や末尾の0の数もわかります。
階乗の計算について
階乗(n!)は、1からnまでのすべての整数の積です。5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120。順列や組み合わせの計算、確率、数列の計算などで使われます。
階乗は、nが大きくなると急激に大きな数になります。たとえば20!は約243京、70!は100桁を超えます。このツールはBigIntを使うので、大きなnでも正確に計算し、桁数や末尾に並ぶ0の数も表示します。
こんなときに使えます
- n人を並べる順番の数(n!通り)を求める
- 確率・場合の数の問題の確認
- 数学の学習での、階乗の増え方の確認
使うときのポイント
- 0! = 1 と定義されている
- 末尾の0の数は、素因数5の個数で決まる
計算例
入力欄の初期値のまま計算すると、次の結果になります。条件は、n(0以上の整数)が20です。数値を変えると、この結果もそれに合わせて変わります。
| 20! | 2,432,902,008,176,640,000 |
|---|---|
| 桁数 | 19桁 |
| 末尾に並ぶ0の数 | 4個 |
使い方
- 0以上の整数を入力します。
- 階乗の値・桁数・末尾の0の数が表示されます。
計算方法・仕組み
n! = n × (n-1) × … × 2 × 1(0! = 1)
BigIntで計算するため、2000!のような非常に大きな数でも正確です。
知っておきたい基礎知識
階乗(n!)は、1からnまでの整数をすべて掛け合わせた数で、5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120です。0! は、1と定義されます。階乗は、物を並べる順列の総数を表し、n個の異なるものを1列に並べる方法は、n!通りです。
階乗は、nが大きくなると、非常に速く増えます。10! = 3,628,800、20! は約243京(2.43 × 10¹⁸)、52! は、約8 × 10⁶⁷で、トランプの並べ方の総数にあたります。この数は、地球上の原子の数を比べても、はるかに大きいほどで、シャッフルされた、トランプの並びが、同じになることが、ほぼないことを意味します。
間違えやすいポイント
- 負の数や、小数の階乗は、通常の定義では、存在しない
- nが大きいと、桁数が非常に多くなる
- n! と、n の累乗(nⁿ)を混同しない
よくある質問
- トランプ52枚の並べ方は、何通りですか?
- 52! 通りで、約8 × 10⁶⁷(8の後に0が67個続く数)です。
- 階乗の計算が、大きな数でも、正確なのはなぜですか?
- このツールは、桁数に制限のない整数(BigInt)で計算しているため、数千の階乗でも、桁落ちせずに、正確な値が得られます。