等差数列・等比数列の計算
初項・公差(公比)・項数から、第n項と、初項から第n項までの和を計算します。
等差数列・等比数列の計算について
等差数列(隣り合う項の差が一定)と等比数列(隣り合う項の比が一定)の、第n項と、第n項までの和を計算します。貯金・利息・規則的な増減など、一定のルールで変わっていく数の計算に使えます。
等差数列の例は、毎月300円ずつ増やす貯金(300・600・900…)、等比数列の例は、毎年2倍になる増え方(1・2・4・8…)です。数学の宿題や、計画の見通しを立てるときに役立ちます。
こんなときに使えます
- 数列の問題の答え合わせ
- 毎月一定額を増やす貯金の、総額を計算する
- 倍々で増える数の、第n項を求める
使うときのポイント
- 等比数列の公比が1のときは、すべての項が同じ値になる
- 等差数列の和は、(初項 + 末項) × 項数 ÷ 2
計算例
入力欄の初期値のまま計算すると、次の結果になります。条件は、数列の種類が等差数列、初項が3、公差(等比の場合は公比)が2、項数 nが10です。数値を変えると、この結果もそれに合わせて変わります。
| 第10項 | 21 |
|---|---|
| 初項から第10項までの和 | 120 |
使い方
- 数列の種類を選びます。
- 初項・公差(公比)・項数を入力します。
- 第n項と、その和が表示されます。
計算方法・仕組み
等差数列: 第n項 = 初項 + (n-1) × 公差、和 = n × (初項 + 第n項) ÷ 2
等比数列: 第n項 = 初項 × 公比^(n-1)、和 = 初項 × (公比^n - 1) ÷ (公比 - 1)(公比が1のときは 初項 × n)
知っておきたい基礎知識
等差数列は、隣り合う項の差が一定の数列で、第n項は、初項 + (n − 1) × 公差で求められます。たとえば、初項3、公差4なら、3・7・11・15・… です。等比数列は、隣り合う項の比が一定の数列で、第n項は、初項 × 公比^(n − 1) で求められます。
数列の和は、等差数列では、n × (初項 + 第n項) ÷ 2 で、等比数列では、初項 × (公比^n − 1) ÷ (公比 − 1) で、求められます。貯金を毎年一定額ずつ増やす場合は、等差数列、利息が複利でつく場合は、等比数列として、考えることができます。1から100までの和が5,050になることは、等差数列の和の公式から、すぐに導けます。
間違えやすいポイント
- 第n項と、項数nを取り違えない。初項は、第1項
- 等比数列で、公比が1のときは、和の公式の分母が0になる。和は、初項 × n
- 公比が1より小さいとき、和は、ある値に近づく(無限等比級数)
よくある質問
- 1から100までの和は?
- 初項1、末項100、項数100の等差数列なので、100 × (1 + 100) ÷ 2 = 5,050です。
- 貯金を毎月1,000円ずつ増やす場合は?
- 毎月の積立額が、1,000円ずつ増えていく場合は、等差数列として、合計金額を計算できます。